Na matemática, um conjunto é uma coleção de elementos^[1].

Nos conjuntos, a ordem e a quantidade de vezes que os elementos estão listados na coleção não é relevante. Em contraste, uma coleção de elementos na qual a multiplicidade, mas não a ordem, é relevante, é chamada multiconjunto.

[editar] Introdução

Um conjunto é considerado um dos conceitos mais básicos da matemática, sendo o elemento principal da teoria dos conjuntos.

Um conjunto é apenas uma coleção de entidades, chamadas de elementos. A notação padrão lista os elementos separados por vírgulas e delimitados por chaves (o uso de "parênteses" ou "colchetes" é incomum e, em determinados contextos, considerado incorreto) como os seguintes exemplos:

Os três exemplos acima são maneiras diferentes de representar o mesmo conjunto.

É possível descrever o mesmo conjunto de diferentes maneiras: listando os seus elementos (ideal para conjuntos pequenos e finitos) ou definindo uma propriedade de seus elementos (o que, se for feito de forma descuidada, pode gerar problemas, tais como o paradoxo de Russell).

Dizemos que dois conjuntos são iguais se e somente se cada elemento de um é também elemento do outro.

[editar] Terminologia

[editar] Conceitos essenciais

• Conjunto: representa uma coleção de objetos, sempre representado por letras maiúsculas;
• Elemento: qualquer um dos componentes de um conjunto, geralmente representado por letras minúsculas;
• Pertinência: é a característica associada a um elemento que faz parte de um conjunto;

[editar] Pertence ou não pertence

Se a é um elemento de A, nós podemos dizer que o elemento a pertence ao conjunto A e podemos escrever . Se a não é um elemento de A, nós podemos dizer que o elemento a não pertence ao conjunto A e podemos escrever .

[editar] Subconjuntos próprios e impróprios

Ver artigo principal: Subconjunto

Se e são conjuntos e todo o elemento pertencente a também pertence a , então o conjunto é dito um subconjunto do conjunto , denotado por . Note que esta definição inclui o caso em que A e B possuem os mesmos elementos, isto é, são o mesmo conjunto (A = B). Se e ao menos um elemento pertencente a não pertence a , então é chamado de subconjunto próprio de , denotado por . Todo conjunto é subconjunto dele próprio, chamado de subconjunto impróprio.

[editar] Conjunto vazio

Ver artigo principal: Conjunto vazio

Todo conjunto também possui como subconjunto o conjunto vazio representado por { } ou .

Podemos mostrar isto supondo que se o conjunto vazio não pertence ao conjunto em questão, então o conjunto vazio deve possuir um elemento ao menos que não pertença a este conjunto. Como o conjunto vazio não possui elementos, isto não é possível. Como todos os conjuntos vazios são iguais uns aos outros, é permissível falar de um único conjunto sem elementos.

[editar] União, interseção e diferença

Ver artigo principal: União

A união (ou reunião) de dois conjuntos e é o conjunto composto dos elementos que pertencem ao menos a um dos conjuntos e .

A união de N conjuntos é o conjunto formado pelos os elementos que pertencem ao menos a um dos conjuntos .

Ver artigo principal: Interseção

A interseção de dois conjuntos e é o conjunto composto dos elementos que pertencem simultaneamente aos dois conjuntos e .

A diferença entre dois conjuntos e é o conjunto de todos os elementos de que não pertencem a .

[editar] Cardinalidade

Ver artigo principal: Cardinalidade

Se um conjunto tem n elementos, onde n é um número natural (possivelmente 0), então diz-se que o conjunto é um conjunto finito com uma cardinalidade de n ou número cardinal n.

Mesmo se o conjunto não possui um número finito de elementos, pode-se definir a cardinalidade, graças ao trabalho desenvolvido pelo matemático Georg Cantor. Neste caso, a cardinalidade poderá ser (aleph-0), .

Nos dois casos a cardinalidade de um conjunto A é denotada por | A | . Se para dois conjuntos A e B é possível fazer uma relação um-a-um entre seus elementos, então | A | = | B | .

[editar] Conjunto potência ou de partes

Ver artigo principal: Conjunto de partes

O conjunto de todos os subconjuntos de um conjunto dado A é chamado de conjunto potência (ou conjunto das partes) de A, denotado por . O conjunto potência é uma álgebra booleana sobre as operações de união e interseção.

Sendo o conjunto dado A finito, com n elementos, prova-se que o número de subconjuntos ou o número de elementos do conjunto potência ou conjunto das partes de A é 2ⁿ, ou seja, a cardinalidade do conjunto das partes de A é igual a 2ⁿ. Como existe uma bijecção entre o conjunto das partes de A e o conjunto {0,1}^A, é usual representar-se P(A) por .

O Teorema de Cantor estabelece que .

[editar] Produto cartesiano

Ver artigo principal: Produto cartesiano

O produto cartesiano de dois conjuntos A e B é o conjunto de pares ordenados:

A soma ou união disjunta de dois conjuntos A e B é o conjunto

.

[editar] Notação dos conjuntos

Os conjuntos são representados de diversas formas:

• A forma mais usual é a que apresenta os elementos entre duas chaves ({});
• As propriedades ou descrições de um conjunto são representadas dentro das {}, após os elementos e separadas destes por :;
• Diagrama de Venn-Euler: é a representação gráfica dos conjuntos, através de entidades geométricas.

[editar] Exemplos de conjuntos compostos por números

Nota: Nesta seção, a, b e c são números naturais, enquanto r e s são números reais.

1. Números naturais são usados para contar. O símbolo usualmente representa este conjunto. Na literatura matemática, é possível encontrar textos que incluem o zero como número natural e textos que não incluem.
2. Números inteiros aparecem como soluções de equações como x + a = b. O símbolo usualmente representa este conjunto (do termo alemão Zahlen que significa números).
3. Números racionais aparecem como soluções de equações como a + bx = c. O símbolo usualmente representa este conjunto (da palavra quociente).
4. Números algébricos aparecem como soluções de equações polinomiais (com coeficientes inteiros) e envolvem raízes e alguns outros números irracionais. O símbolo ou usualmente representa este conjunto.
5. Números reais incluem os números algébricos e os números transcendentais. O símbolo usualmente representa este conjunto.
6. Números imaginários aparecem como soluções de equações como x ² + r = 0 onde r > 0. O símbolo usualmente representa este conjunto.
7. Números complexos é a soma dos números reais e dos imaginários: . Aqui tanto r quanto s podem ser iguais a zero; então os conjuntos dos números reais e o dos imaginários são subconjuntos do conjunto dos números complexos. O símbolo usualmente representa este conjunto