função quadrática

Função quadrática

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$f(x) = x^2 - x - 2,!$

Em matemática, uma função quadrática é uma função polinomial da forma $f(x)=ax^2+bx+c ,!$ , onde $a e 0 ,!$ . O gráfico de uma função quadrática é uma parábola cujo maior eixo é paralelo ao eixo y, se tal função for contínua.

A expressão $a x 2 + b x + c$ na definição de uma função quadrática é um polinômio de grau 2 ou um polinômio de segundo grau, porque o maior expoente de $x$ é 2.

Se a função quadrática é igualada a zero, o resultado é uma equação quadrática. As soluções para a equação são chamadas raízes da equação ou os zeros da função, e são os interceptos do gráfico da função com o eixo x.

Índice

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[editar] Origem da palavra

O adjetivo quadrática vem da palavra latina quadratum, que significa quadrado. Um termo como x² é chamado de quadrado em álgebra, porque representa a área de um quadrado de lado x.

Em geral, um prefixo quadr(i)- indica o número 4. Como em quadrilátero e quadrante. Quadratum é a palavra latina para quadrado por que um quadrado tem quatro lados.

[editar] Raízes

Ver artigo principal: Equação quadrática

As duas raízes da equação quadrática $0=ax^2+bx+c,!$ , onde $a e 0 ,!$ são

$x = rac{-b pm sqrt{b^2 - 4 a c}}{2 a}.$

Essa fórmula é chamada de Fórmula de Bhaskara.

Dado $Delta = b^2-4ac ,$
Se $Delta > 0,!$ , então existem duas raízes distintas uma vez que $sqrt{Delta}$ é um número real positivo.
Se $Delta = 0,!$ , então as duas raízes são iguais, uma vez que $sqrt{Delta}$ é igual a zero.
Se $Delta < 0,!$ , então as duas raízes são números complexos conjugados, uma vez que $sqrt{Delta}$ é imaginário.

Efetuando $r_1 = rac{-b + sqrt{b^2 - 4 a c}}{2 a}$ e $r_2 = rac{-b - sqrt{b^2 - 4 a c}}{2 a}$ ou vice versa, é possível fatorar $a x^2 + b x + c ,!$ como $a(x - r_1)(x - r_2),!$ .

[editar] Formas da função quadrática

Uma função quadrática pode ser expressa em três formatos:

$f(x) = a x^2 + b x + c ,!$ é chamada a forma geral ou forma polinomial (também chamada de forma desenvolvida),
$f(x) = a(x - r_1)(x - r_2),!$ é chamada a forma fatorada, onde $r 1$ e $r 2$ são as raízes da equação quadrática, e
$f(x) = a(x - h)^2 + k ,!$ é chamada a forma padrão ou forma vértice (também chamada de forma canônica).

Para converter a forma geral para a forma fatorada, é necessário usar a fórmula quadrática e encontrar as raízes $r 1$ and $r 2$ . Para converter a forma geral para a forma padrão é necessário usar o processo de completar o quadrado. Para converter a forma fatorada (ou padrão) para a forma geral, é necessário multiplicar, expandir e/ou distribuir os fatores.

[editar] Gráfico

$f(x) = ax^2 + x ,!$ $a={0.1,0.3,1,3}!$

$f(x) = x^2 + bx,!$ $b={1,2,3,4}!$

$f(x) = x^2 + bx,!$ $b={-1,-2,-3,-4}!$

Independentemente do formato, o gráfico de uma função quadrática é uma parábola (como mostrado abaixo).

Se $a > 0 ,!$ , a parábola abre para cima.
Se $a < 0 ,!$ , a parábola abre para baixo.

O coeficiente a controla a velocidade de aumento (ou decréscimo) da função quadrática a partir do vértice. Números positivos grandes para a fazem a imagem de x aumentar mais rápido, fazendo com que a parábola fique mais fechada, mais "magra".

O coeficiente b e a, juntos, controlam o eixo de simetria da parábola (e também a coordenada do x do vértice).

O coeficiente b sozinho é a declividade da parábola ao cortar o eixo y.

O coeficiente c controla a altura da parábola, mais especificamente, é o ponto onde a parábola corta o eixo y.

[editar] Vértice

O vértice de uma parábola é o número crítico da função quadrática - o ponto onde ela vira, também chamado de turning point. Se a função estiver na forma padrão, o vértice é dado por $(h, k),!$ . Pelo método de completar o quadrado transforma-se a forma geral: $f(x) = a x^2 + b x + c ,!$

$f(x) = aleft(x + rac{b}{2a} ight)^2 - rac{b^2-4ac}{4 a} ,$

de forma que o vértice da parábola na forma geral seja

$left(- rac{b}{2a}, - rac{Delta}{4 a} ight).$

Se a função quadrática estiver na forma fatorada $f(x) = a(x - r_1)(x - r_2) ,!$

a média aritmética da duas raízes, i.e.,

$rac{r_1 + r_2}{2} ,!$

fornece a coordenada x do vértice, e assim o vértice é dado por

$left( rac{r_1 + r_2}{2}, f( rac{r_1 + r_2}{2}) ight).!$

O vértice é também o ponto máximo se $a < 0 ,!$ ou o ponto mínimo se $a > 0 ,!$ .

A linha vertical

$x=h=- rac{b}{2a}$

que passa pelo vértice é chamada de eixo de simetria da parábola.

Pontos de máximo/mínimo

O máximo ou mínimo de uma função é sempre obtido no vértice. O seguinte método se baseia na mesma idéia fazendo uso do cálculo. A vantagem desse método é que ele funciona para funções mais gerais.

Tomando $f(x) = ax^2 + bx + c ,!$ como um exemplo de equação quadrática para achar seus pontos extremos (que dependem de $a ,!$ , se $a > 0 ,!$ , tem um ponto mínimo, se $a < 0,!$ , tem um ponto máximo) é necessário antes encontrar sua derivada:

$f(x)=ax^2+bx+c Leftrightarrow ,!$ $f'(x)=2ax+b ,!$

Depois, encontramos as raízes de $f'(x),!$ :

$2ax+b=0 Rightarrow ,!$ $2ax=-b Rightarrow,!$ $x=- rac{b}{2a}$

Então, $- rac{b} {2a}$ é o $x,!$ valor de $f(x),!$ . Agora, para encontrar o valor de $y,!$ , substituimos $x = - rac{b} {2a}$ em $f(x),!$ :

$y=a left (- rac{b}{2a} ight)^2+b left (- rac{b}{2a} ight)+cRightarrow y= rac{ab^2}{4a^2} - rac{b^2}{2a} + c Rightarrow y= rac{b^2}{4a} - rac{b^2}{2a} + c Rightarrow$

$y= rac{b^2 - 2b^2 + 4ac}{4a} Rightarrow y= rac{-b^2+4ac}{4a} Rightarrow y= - rac{(b^2-4ac)}{4a} Rightarrow y= - rac{Delta}{4a}$

Assim, as coordenadas do ponto mínimo/máximo são:

$left (- rac {b}{2a}, - rac {Delta}{4a} ight).$

[editar] Estudo dos Sinais

Exemplo de uma função positiva para qualquer valor de

x

O estudo dos sinais da função quadrática define os sinais da função para qualquer valor de $x$ . O estudo depende do sinal do coeficiente $a$ e do $Δ$ . Ele é obtido analisando o esboço do gráfico da concavidade da função.

[editar] - 1º Caso: $Δ < 0$

Neste caso, a parábola da função não corta o eixo das absissas. Portanto:

$a > 0 ightarrow f(x) > 0, orall x in R$

$a < 0 ightarrow f(x) < 0, orall x in R$

[editar] - 2º Caso: $Δ = 0$

Exemplo de uma função negativa para $x e r_1 = r_2$ e nula para

x = r 1 = r 2

Neste caso, a parábola da função corta o eixo das absissas em apenas um ponto. Tem-se duas situações, dependendo o valor do coeficiente $a$ e das raízes $r 1$ e $r 2$ (note que $r 1 < r 2$ ):

$a > 0$

$f(x) > 0 ightarrow x e r_1 = r_2$

$f(x) = 0 ightarrow x = r_1 = r_2$

$a < 0$

$f(x) < 0 ightarrow x e r_1 = r_2$

$f(x) = 0 ightarrow x = r_1 = r_2$

[editar] - 3º Caso: $Δ > 0$

Exemplo de uma função positiva para

x < r 1

x > r 2

; nula para

x = r 1 = r 2

e negativa para

r 1 < x < r 2

Neste caso, a parábola da função corta o eixo das absissas em dois pontos. Novamente, tem-se duas situações, dependendo o valor do coeficiente $a$ (note novamente que $r 1 < r 2$ ):

$a > 0$

$f(x) > 0 ightarrow x < r_1 lor x > r_2$

$f(x) = 0 ightarrow x = r_1 lor x = r_2$

$f(x) < 0 ightarrow r_1 < x < r_2$

$a < 0$

$f(x) > 0 ightarrow r_1 < x < r_2$

$f(x) = 0 ightarrow x = r_1 lor x = r_2$

$f(x) < 0 ightarrow x < r_1 lor x > r_2$

[editar] Raiz quadrada de uma função quadrática

A raiz quadrada de uma função quadrática faz surgir ou uma elipse ou uma hipérbole. Se $a>0,!$ então a equação $y = pm sqrt{a x^2 + b x + c}$ descreve uma hipérbole. O eixo da hipérbole é determinado pela ordenada do ponto mínimo da parábola correspondente $y_p = a x^2 + b x + c ,!$
Se a ordenada for negativa, então o eixo da hipérbole é horizontal. Se ordenada for positiva, então o eixo da hipérbole é vertical.
Se $a<0,!$ então a equação $y = pm sqrt{a x^2 + b x + c}$ descreve ou uma elipse ou absolutamente nada. Se a ordenada do ponto máximo da parábola correspondente $y_p = a x^2 + b x + c ,!$ for positiva, então sua raiz quadrada descreve uma elipse, mas a ordenada for negativa ela descreve um conjunto vazio de pontos.

[editar] Função quadrática bivariada

Uma função quadrática bivariada é um polinômio de segundo grau da forma

$f(x,y) = A x^2 + B y^2 + C x + D y + E x y + F ,!$

Tal função descreve uma superfície quadrática. Fazendo $f(x,y),!$ igual a zero, é descrita a intersecção da superfície com o plano $z=0,!$ , que é um locus de pontos equivalente a uma secção cônica.

[editar] Mínimo/máximo

Se $4AB-E^2 <0 ,$ a função não possui máximo ou mínimo e seu gráfico forma um parabolóide hiperbólico.

Se $4AB-E^2 >0 ,$ a função possui um mínimo se A>0, e um máximo se A<0 e seu gráfico forma um parabolóide elíptico.

O mínimo ou máximo de uma função quadrática bivariada é obtido através de $(x_m, y_m) ,$ onde:

$x_m = - rac{2BC-DE}{4AB-E^2}$

$y_m = - rac{2AD-CE}{4AB-E^2}$

Se $4AB- E^2 =0 ,$ e $DE-2CB=2AD-CE e 0 ,$ a função não possui máximo ou mínimo e seu gráfico forma um cilindro parabólico.

Se $4AB- E^2 =0 ,$ e $DE-2CB=2AD-CE =0 ,$ a função alcança o mínimo/máximo em uma linha. Similarmente, um mínimo se A>0 e um máximo se A<0, e seu gráfico forma um cilindro parabólico.